Question

8．若函数y=log₂[ax²+（a-1）x+$\frac{1}{4}$]的定义域为R，求实数a的取值范围．若值域为R呢？

Answer 1

分析 依题意，令g（x）=x²+（k+2）x+$\frac{5}{4}$，利用g（x）＞0恒成立即可求得定义域为R时，实数a的取值范围，
再令（0，+∞）⊆g（x）的值域．可得值域为R时，实数a的取值范围．

解答 解：∵函数y=log₂[ax²+（a-1）x+$\frac{1}{4}$]的定义域为R，
令g（x）=ax²+（a-1）x+$\frac{1}{4}$，
则g（x）＞0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={（a-1）}^{2}-a＜0\end{array}\right.$
解得a∈（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$），
若函数y=log₂[ax²+（a-1）x+$\frac{1}{4}$]的值域为R，
则（0，+∞）⊆g（x）的值域．
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={（a-1）}^{2}-a≥0\end{array}\right.$，或a=0
解得a∈[0，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$]∪[$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，+∞），

点评 本题考查函数恒成立问题，着重考查对数函数的定义域，考查△的应用，属于中档题．