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(本小题满分12分)

  设n为正整数,规定:fn(x)=,已知f(x)= .

(1)解不等式f(x)≤x

(2)设集合A={0,1,2},对任意xA,证明f3(x)=x

(3)求f2007()的值;

(4)(理)若集合B=,证明B中至少包含8个元素.

{x|≤x≤2}. 


解析:

22.解:(1)①当0≤x≤1时,由2(1-x)≤xx≥.∴≤x≤1.

②当1<x≤2时,因x-1≤x 恒成立.∴1<x≤2.

由①②得f(x)≤x 的解集为{x|≤x≤2}.                3分

       (2)∵f(0)=2,f(1)=0,f(2)=1,

∴当x=0时,f3(0)=f(f(f(0)))=f(f(2))=f(1)=0;

  当 x=1时,f3(1)=f(f(f(1)))=f(f(0))=f(2)=1;

  当x=2时,f3(2)=f(f(f(2)))=f(f(1))=f(0)=2.

即对任意xA,恒有f3(x)=x. 6分 (8分)

   (3)f1()=2(1-)=,f2()=f(f())=f()=,f3()=f(f2())=f()=-1=,f4()=f(f3())=f()=2(1-)=,

   一般地,f4kr()=fr() (krN*) ∴ f2007()=f3() =    9分  (12分)

   (4)(理)由(1)知,f()=,∴fn()=.则f12()=.∴∈B .

   由(2)知,对x=0,或1,或2,恒有f3(x)=x,∴f12(x)=f4×3(x)=x.则0,1,2∈B.

    由(3)知,对x=,,,,恒有f12(x)=f4×3(x)=x,∴,,,∈B.

  综上所述,,0,1,2, ,,,∈B. ∴B中至少含有8个元素.  12分

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3
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ON
|=6,
ON
=
5
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.过点M作MM1丄y轴于M1,过N作NN1⊥x轴于点N1
OT
=
M1M
+
N1N
,记点T的轨迹为曲线C.
(I)求曲线C的方程:
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=3
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