Question

已知函数f（x）=log_kx（k为常数，k＞0且k≠1），且数列{f（a_n）}是首项为4，公差为2的等差数列．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若b_n=a_n•f（a_n），当k=

2

时，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）若c_n=a_nlga_n，问是否存在实数k，使得{c_n}中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k的范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知可得f（a_n）=2n+2=log_ka_n?a_n=k²ⁿ⁺²，利用定义可证

an+1

an

=k2，从而可得数列a_n为等比数列
（II）当k=

2

，由（I）可得b_n=（2n+2）•k²ⁿ⁺²=（2n+2）•2ⁿ⁺¹=（n+1）•2ⁿ⁺²，利用“乘公比错位相减”求和
（III）由（I）可知c_n=（2n+2）•k²ⁿ⁺²lgk，若使得{c_n}中的每一项恒小于它后面的项?c_n＜c_n+1?（n+1）lgk＜（n+2）•k²•lgk对一切n∈N^*成立，分①lgk＞0②lgk＜0讨论求解．

解答：解：（Ⅰ）证明：由题意f（a_n）=4+（n-1）×2=2n+2，即log_ka_n=2n+2，（1分）
∴a_n=k²ⁿ⁺²∴

an+1

an

=

k2(n+1)+2

k2n+2

=k2．（2分）
∵常数k＞0且k≠1，∴k²为非零常数，
∴数列{a_n}是以k⁴为首项，k²为公比的等比数列．（3分）

（II）解：由（1）知，b_n=a_nf（a_n）=k²ⁿ⁺²•（2n+2），
当k=

2

时，b_n=（2n+2）•2ⁿ⁺¹=（n+1）•2ⁿ⁺²．（4分）
∴S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+（n+1）•2ⁿ⁺²，①2S_n=2•2⁴+3•2⁵+…+n•2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³．②（5分）
②-①，得S_n=-2•2³-2⁴-2⁵--2ⁿ⁺²+（n+1）•2ⁿ⁺³=-2³-（2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺²）+（n+1）•2ⁿ⁺³
∴Sn=-23-

23(1-2n)

1-2

+(n+1)•2n+3=n•2ⁿ⁺³．（8分）

（III）解：由（1）知，c_n=a_nlga_n=（2n+2）•k²ⁿ⁺²lgk，要使c_n＜c_n+1对一切n∈N^*成立，
即（n+1）lgk＜（n+2）•k²•lgk对一切n∈N^*成立．（9分）
①当k＞1时，lgk＞0，n+1＜（n+2）k²对一切n∈N^*恒成立；（10分）
②当0＜k＜1时，lgk＜0，n+1＞（n+2）k²对一切n∈N^*恒成立，只需k2＜(

n+1

n+2

)min，（11分）
∵

n+1

n+2

=1-

1

n+2

单调递增，
∴当n=1时，(

n+1

n+2

)min=

2

3

．（12分）
∴k2＜

2

3

，且0＜k＜1，
∴0＜k＜

6

3

．（13分）
综上所述，存在实数k∈(0，

6

3

)∪(1，+∞)满足条件．（14分）

点评：本题综合考查数列的基本知识、方法和运算能力，渗透了函数的知识，以及分类讨论和化归、转化的思想方法、．错位相减法是数列求和的一种重要方法，学习中要引起重视．