Question

16．已知函数f（x）=|x-4|+|x-a|（a＜3）的最小值为2．
（1）解关于x的方程f（x）=a；
（2）若存在x∈R，使f（x）-mx≤1成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义可得|a-4|=2，可的a=2，即|x-4|+|x-2|=2，由此可得x的范围．
（2）由题意可得f（x）≤mx+1 能成立，及 2≤mx+1 能成立，即mx≥1 能成立，由此可得m的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=|x-4|+|x-a|（a＜3）表示数轴上的x对应点到4和a对应点的距离之和，
它的最小值为|a-4|=2，∴a=2．
关于x的方程f（x）=a，即|x-4|+|x-2|=2．
再根据|x-4|+|x-a|≥|（x-4）-（x-2）|=2，当且仅当2≤x≤4时取等号，
可得方程f（x）=a的解为2≤x≤4．
（2）存在x∈R，使f（x）-mx≤1成立，即f（x）≤mx+1 能成立．
由于函数f（x）=|x-4|+|x-a|（a＜3）的最小值为2，故2≤mx+1 能成立．
即mx≥1能成立，故m≠0．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．