Question

7．已知函数f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$，若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线e²x-y+e=0垂直（其中e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若f（x）在（m，m+1）上存在极值，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）求证：当x＞1时，f（x）＞$\frac{2}{x+1}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，结合两直线垂直的条件，可得a的方程，求得a=1，再求单调区间可得极值点1，令m＜1＜m+1，可得m的范围；
（Ⅱ）运用分析法只要证明（x+1）（1+lnx）＞2x，即为lnx＞$\frac{x-1}{x+1}$．令g（x）=lnx-$\frac{x-1}{x+1}$，x＞1，求出导数，判断单调性，由x＞1，运用单调性，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{1-a-lnx}{{x}^{2}}$，
在点（e，f（e））处的切线斜率为k=$\frac{1-a-1}{{e}^{2}}$=-$\frac{a}{{e}^{2}}$，
由切线与直线e²x-y+e=0垂直，可得-$\frac{a}{{e}^{2}}$=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
即为a=1，则f′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增．
则x=1为极大值点，
由f（x）在（m，m+1）上存在极值，则m＜1＜m+1，
解得0＜m＜1；
（Ⅱ）证明：要证当x＞1时，f（x）＞$\frac{2}{x+1}$．
即证当x＞1时，$\frac{1+lnx}{x}$＞$\frac{2}{x+1}$，
即证（x+1）（1+lnx）＞2x，即为lnx＞$\frac{x-1}{x+1}$．
令g（x）=lnx-$\frac{x-1}{x+1}$，x＞1，
则g′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{（x+1）^{2}}$＞0恒成立，
则g（x）在（1，+∞）递增，
由g（1）=0，
则lnx-$\frac{x-1}{x+1}$＞0，即有lnx＞$\frac{x-1}{x+1}$．
故当x＞1时，f（x）＞$\frac{2}{x+1}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，同时考查不等式的证明，注意运用构造函数及函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．