Question

19．已知函数f（x）=$\frac{blnx-a}{x}$（b≠0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若b=1时，函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e]上有公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，通过对参数b的讨论，确定导函数的正负，判断函数的单调区间．
（2）利用导函数得出函数的极值点，结合函数单调性，通过极值得出a的范围．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a+b-blnx}{{x}^{2}}$  x＞0
令f′（x）=0的x=${e}^{\frac{a+b}{b}}$
令h（x）=a+b-blnx
当b＞0时，h（x）递减
x∈（0，${e}^{\frac{a+b}{b}}$），h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）递增
x∈（${e}^{\frac{a+b}{b}}$，+∞），h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）递减
当b＜0时，h（x）递增
x∈（0，${e}^{\frac{a+b}{b}}$），h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）递减
x∈（${e}^{\frac{a+b}{b}}$，+∞），h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）递增
（2）f（x）=$\frac{lnx-a}{x}$
由（1）知，x∈（0，e^a+1），f（x）递增
x∈（e^a+1，+∞），f（x）递减
f（e^a+1）=$\frac{1}{{e}^{a+1}}$位函数的极大值
函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e]上有公共点
当a+1≤1即a≤0时
$\frac{1}{{e}^{a+1}}$≥1
∴a≤-1
当a+1＞1即a＞0时
f（e）=$\frac{lne-a}{e}$≥1
∴a≤1-e不成立
故a的范围为a≤-1

点评 考察了利用导函数判断函数的单调性，利用导函数求函数的极值，通过极值判断图象的特征．