Question

6．已知函数f（x）=x²+2（a+1）x+a，x∈[-2，3]．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）的区间[-2，3]上是单调函数．

Answer 1

分析 （1）当a=-2时，函数f（x）=（x-1）²-3，再利用二次函数的性质求得函数在[-2，3]上的最值．
（2）根据y=f（x）的对称轴为x=-a-1，且在区间[-2，3]上是单调函数，可得-a-1≤-2，或-a-1≥3，由此求得a的范围．

解答 解：（1）当a=-1时，函数f（x）=x²+2（a+1）x+a=x² -2x-2=（x-1）²-3，
再由x∈[-2，3]，可得当x=1时，函数取得最小值为-3，
当x=-2时，函数取得最大值为6．
（2）∵函数f（x）=x²+2（a+1）x+a=（x+a+1）²-1-a-a² 的对称轴为x=-a-1，
且在区间[-2，3]上是单调函数，
可得-a-1≤-2，或-a-1≥3．
解得a≥1，或 a≤-4，
故a的范围为（-∞，-4]∪[1，+∞）．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．