【题目】如图,在四棱柱中,底面
为等腰梯形,
,
.平面
平面
,四边形
为菱形,
.
(1)求证:;
(2)求与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
方法一(几何法):(1)通过证明,证得
平面
,由此证得
;(2)作出直线
与平面
所成角,利用两角差的正切公式,求得线面角的正切值,再转化为正弦值.
方法二(向量法):(1)取中点
,连接
,证得
底面
,由此以
为原点建立空间直角坐标系,通过计算
,证得
.(2)由(1)计算出直线
的方向向量和平面
的法向量,由此计算出
与平面
所成角的正弦值.
方法一、
(1)连接、
,取
中点
,连接
、
.
∵等腰梯形中,
,
.
∴,
.
又∵在菱形中,
,∴
.
又平面平面
,交线为
,∴
底面
.
∵,
,
∴四边形为平行四边形,
.
∴底面
,∴
,
又∵,
相交,∴
平面
,
∴.
(2)取中点
,连接
,
,
,
,
相交于点
,连接
,显然平面
平面
.
∵平面
,∴平面
平面
,∴平面
平面
,交线为
,∴
为
与平面
所成角.
∵,
,
∴,∴由
解得
.∴
与平面
所成角的正弦值为
.
方法二、
(1)取中点
,连接
.
∵四边形为菱形,
,∴
.
又平面平面
,交线为
,∴
底面
.
以为原点如图建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
.
∴,
,
∴,∴
.
(2),设平面
的法向量为
,则
,取
,
.
∴与平面
所成角的正弦值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.它是中国政府坚定支持贸易自由化和经济全球化,主动向世界开放市场的重要举措,有利于促进世界各国加强经贸交流合作,促进全球贸易和世界经济增长,推动开放世界经济发展.某机构为了解人们对“进博会”的关注度是否与性别有关,随机抽取了100名不同性别的人员(男、女各50名)进行问卷调查,并得到如下列联表:
男性 | 女性 | 合计 | |
关注度极高 | 35 | 14 | 49 |
关注度一般 | 15 | 36 | 51 |
合计 | 50 | 50 | 100 |
(1)根据列联表,能否有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关;
(2)若从关注度极高的被调查者中按男女分层抽样的方法抽取7人了解他们从事的职业情况,再从7人中任意选取2人谈谈关注“进博会”的原因,求这2人中至少有一名女性的概率.
附:.
参考数据:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】在平面直角坐标系中,
为坐标原点,C、D两点的坐标为
,曲线
上的动点P满足
.又曲线
上的点A、B满足
.
(1)求曲线的方程;
(2)若点A在第一象限,且,求点A的坐标;
(3)求证:原点到直线AB的距离为定值.
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【题目】已知椭圆:
(
),过原点的两条直线
和
分别与
交于点
、
和
、
,得到平行四边形
.
(1)若,
,且
为正方形,求该正方形的面积
.
(2)若直线的方程为
,
和
关于
轴对称,
上任意一点
到
和
的距离分别为
和
,证明:
.
(3)当为菱形,且圆
内切于菱形
时,求
,
满足的关系式.
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【题目】数列的前n项
组成集合
,从集合
中任取
个数,其所有可能的k个数的乘积的和为
(若只取一个数,规定乘积为此数本身),例如:对于数列
,当
时,
时,
;
(1)若集合,求当
时,
的值;
(2)若集合,证明:
时集合
的
与
时集合
的
(为了以示区别,用
表示)有关系式
,其中
;
(3)对于(2)中集合.定义
,求
(用n表示).
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【题目】在平面直角坐标系中,如图放置的边长为
的正方形
沿
轴滚动(无滑动滚动),点
恰好经过坐标原点,设顶点
的轨迹方程是
,则对函数
的判断正确的是( )
A.函数是奇函数B.对任意的
,都有
C.函数的值域为
D.函数
在区间
上单调递增
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型,先用木料搭边框,再用其他材料填充,已知金字塔的每一条棱和边都相等.
(1)求证:直线AC垂直于直线SD;
(2)若搭边框共使用木料24米,则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满?
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【题目】已知动点到点
的距离与它到直线
的距离
的比值为
,设动点
形成的轨迹为曲线
..
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线与曲线
交于
两点,过
点作
,垂足为
,过
点作
,垂足为
,求
的取值范围.
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