【题目】在平面直角坐标系中,
为坐标原点,C、D两点的坐标为
,曲线
上的动点P满足
.又曲线
上的点A、B满足
.
(1)求曲线的方程;
(2)若点A在第一象限,且,求点A的坐标;
(3)求证:原点到直线AB的距离为定值.
【答案】(1)(2)
(3)证明见解析
【解析】
(1)由,
知,曲线
是以
、
为焦点,长轴
的椭圆,即可求曲线
的方程(2)设直线
的方程为
,则直线
的方程为
,与椭圆方程联立,由
知
,即可求点
的坐标(3)分类讨论,设直线
的方程
,与椭圆方程联立,求出原点到直线
的距离,即可证明原点到直线
的距离为定值.
(1)由,
知,曲线E是以C、D为焦点,长轴
的椭圆,
设其方程为,则有
,
∴曲线E的方程为
(2)设直线OA的方程为,则直线OB的方程为
由则得
,解得
同理,由则解得
.
由知
,
即
解得,因点A在第一象限,故
,
此时点A的坐标为
(3)设,
,
当直线AB平行于坐标轴时,由知A、B两点之一为
与椭圆的交点,
由
解得,
此时原点到直线AB的距离为,
当直线AB不平行于坐标轴时,设直线AB的方程,
由得
由得
即
因
代入得即
原点到直线AB的距离.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),在以
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
是圆心在极轴上,且经过极点的圆.已知曲线
上的点
对应的参数
,射线
与曲线
交于点
(1)求曲线、
的直角坐标方程;
(2)若点在曲线
上的两个点且
,求
的值.
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【题目】已知椭圆C:的左、右焦点分别是
,点
,若
的内切圆的半径与外接圆的半径的比是
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点M是椭圆C的左顶点,P、Q是椭圆上异于左、右顶点的两点,设直线MP、MQ的斜率分别为、
,若
,试问直线PQ是否过定点?若过定点,求该定点坐标;若不过定点,请说明理由.
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【题目】某校决定为本校上学所需时间不少于30分钟的学生提供校车接送服务.为了解学生上学所需时间,从全校600名学生中抽取50人统计上学所需时间(单位:分钟),将600人随机编号为001,002,…,600,抽取的50名学生上学所需时间均不超过60分钟,将上学所需时间按如下方式分成六组,第一组上学所需时间在[0,10),第二组上学所需时间在[10,20)…,第六组上学所需时间在[50,60],得到各组人数的频率分布直方图,如下图
(1)若抽取的50个样本是用系统抽样的方法得到,且第一个抽取的号码为006,则第五个抽取的号码是多少?
(2)若从50个样本中属于第四组和第六组的所有人中随机抽取2人,设他们上学所需时间分别为a、b,求满足的事件的概率;
(3)设学校配备的校车每辆可搭载40名学生,请根据抽样的结果估计全校应有多少辆这样的校车?
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【题目】已知点在
上,以
为切点的
的切线的斜率为
,过
外一点
(不在
轴上)作
的切线
、
,点
、
为切点,作平行于
的切线
(切点为
),点
、
分别是与
、
的交点(如图):
(1)用、
的纵坐标
、
表示直线
的斜率;
(2)若直线与
的交点为
,证明
是
的中点;
(3)设三角形面积为
,若将由过
外一点的两条切线及第三条切线(平行于两切线切点的连线)围成的三角形叫做“切线三角形”,如
,再由
、
作“切线三角形”,并依这样的方法不断作切线三角形……,试利用“切线三角形”的面积和计算由抛物线及
所围成的阴影部分的面积
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【题目】已知,
,
,
是各项均为正数的等差数列,其公差
大于零.若线段
,
,
,
的长分别为
,
,
,
,则( ).
A.对任意的,均存在以
,
,
为三边的三角形
B.对任意的,均不存在以
,
,
为三边的三角形
C.对任意的,均存在以
,
,
为三边的三角形
D.对任意的,均不存在以
,
,
为三边的三角形
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆,设
是椭圆
上任一点,从原点
向圆
作两条切线,切点分别为
.
(1)若直线互相垂直,且点
在第一象限内,求点
的坐标;
(2)若直线的斜率都存在,并记为
,求证:
.
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