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(1)已知:f(x)=
4x2-12x-32x+1
,x∈[0,1]
,求函数f(x)的单调区间和值域;
(2)a≥1,函数g(x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1],判断函数g(x)的单调性并予以证明;
(3)当a≥1时,上述(1)、(2)小题中的函数f(x)、g(x),若对任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得g(x2)=f(x1)成立,求a的取值范围.
分析:(1)将f(x)进行化简成对勾函数的形式y=f(x)=2x+1+
4
2x+1
-8
,换元令t=2x+1,1≤t≤3然后利用定义进行判断函数的单调性,
(2)直接利用单调函数的定义进行判定
(3)存在性问题,转化成f(x)的值域⊆g(x)的值域求解即可
解答:解:(1)y=f(x)=2x+1+
4
2x+1
-8
,设t=2x+1,1≤t≤3
y=t+
4
t
-8,t∈[1,3].

任取t1、t2∈[1,3],且t1<t2f(t1)-f(t2)=
(t1-t2)(t1t2-4)
t1t2

1≤t≤2,即0≤x≤
1
2
时,f(x)单调递减;
2<t≤3,即
1
2
<x≤1
时,f(x)单调递增.
f(0)=-3,f(
1
2
)=-4,f(1)=-
11
3
,得f(x)的值域为[-4,-3].
(2)设x1、x2∈[0,1],且x1<x2
则g(x1)-g(x2)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22-3a2)>0,
所以g(x)单调递减.
(3)由g(x)的值域为:1-3a2-2a=g(1)≤g(x)≤g(0)=-2a,
所以满足题设仅需:1-3a2-2a≤-4≤-3≤-2a,
解得,1≤a≤
3
2
点评:本题主要考查了利用函数的单调性求函数值域,以及存在性问题的求解,是一个函数综合题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(1)已知函数f(x)=x+
4
x
,(x≠0)
请判断并证明函数在(2,+∞)上的单调性.
(2)求值:(lg2)2+
4
3
log1008+lg5•lg20+lg25+
382
+0.027-
2
3
×(-
1
3
)-2

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知下列命题:(1)已知函数f(x)=x+
p
x-1
(p为常数且p>0),若f(x)在区间(1,+∞)的最小值为4,则实数p的值为
9
4
; (2)?x∈[0,
π
2
],sinx+cosx>
2
;(3)正项等比数列{an}中:a4.a6=8,函数f(x)=x(x+a3)(x+a5)(x+a7),则f(0)=16
2
;(4)若数列{an}的前n项和为Sn=2n2-n+1,且bn=2an+1,则数列{bn}前n项和为Tn=4n2-n+2上述命题正确的序号是
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)+f(2a-x)=2b,则称函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.
(1)已知函数f(x)=
x2+mx+mx
的图象关于点(0,1)对称,求实数m的值;
(2)已知函数g(x)在R上的图象关于点(0,1)对称,且当x∈(0,+∞)时,g(x)=x2-2x,求函数g(x)在R上的解析式.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)已知函数f(x)=
2x-1
2x+1
,判断函数的奇偶性,并加以证明.
(2)已知函数f(x)=lg
1-x
1+x

    ①求f(x)的定义域;
    ②证明函数f(x)是奇函数.
    ③判断并证明f(x)在定义域内的单调性.

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科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为an=2n-1,已知函数f(x)=cosx•cos(x-A)-
1
2
cosA
(x∈R).
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最大值;
(Ⅱ)若函数f(x)在x=
π
6
处取得最大值,且
AB
AC
=2
,求△ABC的面积S.

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