Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c满足f（1）=0．
（I）若a＞b＞c，证明f（x）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点间的距离d满足：

3

2

＜d＜3；
（Ⅱ）设f（x）在x=

t+1

2

（t＞0，t≠1）处取得最小值，且对任意实数x，等式f（x）g（x）+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹（其中n∈N，g（x）=x²+x+1）都成立，若数列{c_n}的前n项和为b_n，求{c_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=0结合a＞b＞c，得到a为正数且c为负数，得到b²-4ac＞0，f（x）的图象与x轴有两个交点．由x=1是f（x）=0的一个根，结合根与系数的关系，得到另一个根是

c

a

，从而得到d=|1-

c

a

|．再由不等式的性质加以讨论，即可得到-2＜

c

a

＜-

1

2

，从而得到

3

2

＜d＜3成立；
（2）由二次函数图象的对称性，结合题意得到a_n+b_n=1且tan+bn=tn+1，两式联解可得bn=

t-tn+1

t-1

，根据数列的通项与前n和的关系式算出cn=-tn，再检验n=1时，c₁=b₁=-t也符合．由此可得{c_n}的通项公式．

解答：解：（I）∵f（1）=0，∴a+b+c=0．
∴结合a＞b＞c，可得a＞0，c＞0．
因此ac＜0，得b²-4ac＞0…（1分）
即f（x）的图象与x轴有两个交点．
∵f（1）=0，得x=1是f（x）=0的一个根．
∴由根与系数的关系可知f（x）=0的另一个根是

c

a

，可得d=|1-

c

a

|．
∵

c

a

＜0，d=1-

c

a

，且a＞b＞c，b=-a-c，
∴a＞b=-a-c＞c．
由此可得

c

a

＜-1-

c

a

＜1，即-2＜

c

a

＜-

1

2

，

3

2

＜1-

c

a

＜3．
∴两个交点间的距离d满足：

3

2

＜d＜3．…（3分）
（II）∵f（x）在x=

t+1

2

处取得最小值，∴x=

t+1

2

是f（x）的对称轴方程．
由f（x）图象的对称性及f（1）=0可知f（t）=0．  …（5分）
令x=1，得a_n+b_n=1…①；
再令x=t，得tan+bn=tn+1…②
由①、②联解，可得bn=

t-tn+1

t-1

．…（7分）
∴n＞1时，cn=

t-tn+1

t-1

-

t-tn

t-1

=

tn(1-t)

t-1

=-tn．
又∵n=1时，c1=b1=

t-t2

t-1

=-t，也符合
∴{c_n}是首项为c₁=-t，公比为q=t的等比数列，且{c_n}的通项公式cn=-tn． …（8分）

点评：本题给出二次函数满足的条件，求证距离d满足的条件并依此求数列{c_n}的通项公式．着重考查了二次函数的图象与性质、数列的通项与求和不等式的性质等知识，考查了逻辑推理能力和运算能力，属于难题．