Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞1)的离心率为

2

2

，点N(

1

2

，0)与椭圆上任意一点的距离的最小值为

7

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，M为左顶点，连接MA，MB并延长交直线x=4于P，Q两点，设y_P，y_Q分别为点P，Q的纵坐标，且

1

yP

+

1

yQ

=

1

y1

+

1

y2

，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由e=

c

a

=

2

2

，可得a²=2c²，b²=a²-c²=c²，故椭圆方程可化为x²+2y²=2c²，设P（x，y）（x∈[-a，a]）是椭圆上任意一点，则|PN|2=(x-

1

2

)2+y2=(x-

1

2

)2+

1

2

(2c2-x2)=

1

2

x2-x+c2+

1

4

=

1

2

(x-1)2+c2-

1

4

，由于a＞b＞1，可知1∈[-a，a]，利用二次函数的单调性即可得出
当x=1时，|PN|²取得最小值c2-

1

4

，进而取得c及a，b；
（II）把直线l：y=kx+m与椭圆C的方程联立可得△＞0即根与系数的关系，又M（-2，0），故直线AM方程为y=

y1

x1+2

(x+2)，令x=4得，yP=

6y1

x1+2

同理yQ=

6y2

x2+2

，利用

1

yP

+

1

yQ

=

1

y1

+

1

y2

得 

x1+2

6y1

+

x2+2

6y2

=

1

y1

+

1

y2

，整理并把根与系数的关系代入可得m=-k，满足△＞0，可得直线l方程为y=kx-k，可知过定点．

解答：解：（Ⅰ）由e=

c

a

=

2

2

，∴a²=2c²，b²=a²-c²=c²，
故椭圆方程可化为x²+2y²=2c²
设P（x，y）（x∈[-a，a]）是椭圆上任意一点，
则|PN|2=(x-

1

2

)2+y2=(x-

1

2

)2+

1

2

(2c2-x2)=

1

2

x2-x+c2+

1

4

=

1

2

(x-1)2+c2-

1

4

，
∵a＞b＞1，∴1∈[-a，a]，
因此当x=1时，|PN|²取得最小值c2-

1

4

，
∴c2-

1

4

=(

7

2

)2，得c²=2，
∴a²=2×2=4，b²=2．
故所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）由

y=kx+m x2 4 + y2 2 =1

得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-4=0，
△=16k²m²-2（2k²+1）（2m²-4）=32k²+16-8m²＞0（*）
故x1+x2=

-4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-4

2k2+1

，y1+y2=k(x1+x2)+2m=

-4k2m

2k2+1

+2m=

2m

2k2+1

又M（-2，0），故直线AM方程为y=

y1

x1+2

(x+2)，令x=4得，yP=

6y1

x1+2

同理yQ=

6y2

x2+2

，
于是由

1

yP

+

1

yQ

=

1

y1

+

1

y2

得 

x1+2

6y1

+

x2+2

6y2

=

1

y1

+

1

y2

，
整理得：x₁y₂+x₂y₁=4（y₁+y₂），即x₁（kx₂+m）+x₂（kx₁+m）=4（y₁+y₂），
得2kx₁x₂+m（x₁+x₂）=4（y₁+y₂），
∴有

2k(2m2-4)

2k2+1

-

4km2

2k2+1

=

8m

2k2+1

，
整理得m=-k，代入（*）得△=24k²+16＞0
∴直线l方程为y=kx-k，过定点（1，0）．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、二次函数的单调性、直线与椭圆相交问题转化为根与系数的关系、直线过定点问题等基础知识与基本技能方法，属于难题．