Question

15．已知向量$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（-2，x）．
（1）当$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$时，求x的值；
（2）当向量$\overrightarrow{a}$与（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）的夹角是锐角，求|$\overrightarrow{b}$|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-2+2x=0解方程可得x的；
（2）当向量$\overrightarrow{a}$与（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）的夹角是锐角时，$\overrightarrow{a}$•（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）＞0，解关于x的不等式排除同向可得x的范围，由模长公式和二次函数的最值可得．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a$=（1，2），$\overrightarrow b$=（-2，x），
当$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$时，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-2+2x=0，
解方程可得x的值为1；
（2）4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（2，8+x），
当向量$\overrightarrow{a}$与（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）的夹角是锐角时，$\overrightarrow{a}$•（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）＞0，
∴2+16+2x＞0，解得x＞-9，
当$\overrightarrow{a}$与（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）共线时，1×（8+x）=2×2，解得x=-4，
此时4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（2，4），与向量$\overrightarrow a$=（1，2）同向，
满足$\overrightarrow{a}$•（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）＞0但向量夹角不是锐角，应舍去，
∴x的取值范围为x＞-9且x≠-4，
∴|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（-2）^{2}+{x}^{2}}$∈[2，+∞）

点评 本题考查平面向量的夹角，涉及向量垂直和模长公式以及二次函数的最值，属中档题．