Question

8．已知命题p：?x₀∈[0，2]，x₀²-3x₀+$\frac{5}{2}$＜m；命题q：直线y=mx+2与圆x²+y²-2x-4y+$\frac{19}{4}$=0相交．
（1）若（-p）∧q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由（-p）∧q为真命题，得命题p命题p是假命题，命题q是真命题，由此能求出实数m的取值范围．
（2）由已知得p真q假或p假q真，由此能求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵（-p）∧q为真命题，
∴命题p：?x₀∈[0，2]，x₀²-3x₀+$\frac{5}{2}$＜m是假命题，
命题q：直线y=mx+2与圆x²+y²-2x-4y+$\frac{19}{4}$=0相交是真命题，
由命题p是假命题，得：?x₀∈[0，2]，x₀²-3x₀+$\frac{5}{2}$=（x₀-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≥m，解得m≤$\frac{1}{4}$，①
由命题q是真命题，得：$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+2}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-4y+\frac{19}{4}=0}\end{array}\right.$，
整理，得$（{m}^{2}+1）{x}^{2}-2x+\frac{3}{4}=0$，
$△=（-2）^{2}-4（{m}^{2}+1）×\frac{3}{4}≥0$，解得m∈（-$\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$）．②
由①②得实数m的取值范围是（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{1}{4}$]．
（2）∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，
∴p真q假或p假q真，
当P为真命题时，x₀∈[0，2]，x₀²-3x₀+$\frac{5}{2}$=（x₀-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{1}{4}$＜m，m$≥\frac{5}{2}$，
当p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}{m≥\frac{5}{2}}\\{m≤-\frac{\sqrt{3}}{3}或m≥\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，即$m≤-\frac{\sqrt{3}}{3}$或m≥$\frac{5}{2}$．
当p假q真时，$\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{1}{4}}\\{-\frac{\sqrt{3}}{3}＜m＜\frac{\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，即$-\frac{\sqrt{3}}{3}＜m≤\frac{1}{4}$，
综上，p∨q为真命题，p∧q为假命题，实数m的取值范围是（-∞，$\frac{1}{4}$]∪[$\frac{5}{2}$，+∞）．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意命题真假的合理运用．