Question

5．在△ABC中，点B（4，4），角A的内角平分线所在直线的方程为y=0，BC边上的高所在直线的方程为x-2y+2=0
（Ⅰ） 求点C的坐标；
（Ⅱ） 求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）利用相互垂直的直线斜率之间的关系、直线交点与方程组的关系即可得出．
（II）l利用两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由题意知BC的斜率为-2，又点B（4，4），∴直线BC的方程为y-4=-2（x-4），即2x+y-12=0．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$，∴点A的坐标为（-2，0）．
又∠A的内角平分线所在直线的方程为y=0，∴点B（4，4）关于直线y=0的对称点B'（4，-4）在直线AC上，
∴直线AC的方程为$y=-\frac{2}{3}（{x+2}）$，即2x+3y+4=0．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-12=0}\\{2x+3y+4=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=-8}\end{array}\right.$，∴点C的坐标为（10，-8）．
（Ⅱ）∵$|{BC}|=\sqrt{{{（{10-4}）}^2}+{{（{-8-4}）}^2}}=6\sqrt{5}$，
又直线BC的方程是2x+y-12=0，∴点A到直线BC的距离是$d=\frac{{|{2×（{-2}）-0-12}|}}{{\sqrt{{2^2}+{1^2}}}}=\frac{16}{{\sqrt{5}}}$，∴△ABC的面积是$S=\frac{1}{2}×|{BC}|×d=\frac{1}{2}×6\sqrt{5}×\frac{16}{{\sqrt{5}}}=48$．

点评 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、直线交点与方程组的关系、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．