Question

已知：cos(α-β)=-

4

5

，cos(α+β)=

4

5

，90°＜α-β＜180°，270°＜α+β＜360°
（1）求cos2α
（2）已知sin(α+45°)=

3

5

，45°＜α＜135°，求sinα．

Answer 1

分析：（1）变形2α=（α-β）+（α+β），利用平方关系分别求出sin（α-β），sin（α+β），及理解和的余弦公式即可得出．
（2）变形α=（α+45°）-45°，利用两角差的正弦公式即可得出．

解答：解：（1）∵90°＜α-β＜180°，∴sin(α-β)=

1-cos2(α-β)

=

3

5

．
∵270°＜α+β＜360°，∴sin(α+β)=-

1-cos2(α+β)

=-

3

5

．
∴cos2α=cos[（α-β）+（α+β）]=cos（α-β）cos（α+β）-sin（α-β）sin（α+β）
=-

4

5

×

4

5

-

3

5

×(-

3

5

)
=-

7

25

．
（2）∵45°＜α＜135°，∴90°＜α+45°＜180°，
∴cos(α+45°)=-

1-sin2(α+45°)

=-

4

5

．
∴sinα=sin[（α+45°）-45°]
=sin（α+45°）cos45°-cos（α+45°）sin45°
=

3

5

×

2

2

-(-

4

5

)×

2

2

=

7

10

2

．

点评：熟练掌握三角函数的恒等变换、诱导公式、平方关系等是解题的关键．