Question

已知奇函数f（x）=

x+b

x2+a

的定义域为R，f（1）=

1

2

．
（1）求实数a，b的值；
（2）证明函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数；
（3）若g（x）=3^-x-f（x），证明函数g（x）在（-∞，+∞）上有零点．

Answer 1

分析：（1））因为函数f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，可得b的值，再利用f（1）=

1

2

，进而可求出a的值．
（2）由（1）可知：f（x）=

x

x2+1

．利用增函数的定义即可证明函数f（x）是增函数．
（3）由（1）可知g（x）=3-x-

x

x2+1

，由g（-1）g（1）＜0，可判断出函数g（x）在（-1，1）上有一个零点，进而g（x）在（-∞，+∞）上有零点．

解答：解：（1）∵函数f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，得

b

a

=0，∴b=0；
又f（1）=

1

2

，∴

1

1+a

=

1

2

，∴a=1．
由上可知：a=1，b=0．
（2）由（1）可知：f（x）=

x

x2+1

．
设-1＜x₁＜x₂＜1，则x₂-x₁＞0，
于是△y=f（x₂）-f（x₁）=

x2

x22+1

-

x1

x 2 1 +1

=

(x2-x1)(1-x1x2)

( x 2 2 +1)( x 2 1 +1)

．
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁x₂＜1，∴1-x₁x₂＞0．
又x₂-x₁＞0，

x

2 1

+1＞0，

x

2 2

+1＞0，
∴△y＞0，
∴函数f（x）在（-1，1）上为增函数．
（3）∵g(x)=3-x-

x

x2+1

，∴g(-1)g(1)=(3+

1

2

)×(

1

3

-

1

2

)＜0，
∴g（x）在（-1，1）上有零点，
故函数g（x）在（-∞，+∞）上有零点．

点评：本题综合考查了函数的奇偶性、单调性及函数的零点，充分理解以上有关知识及方法是解决问题的关键．