Question

为了保护学生的视力,教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换,已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表:

天数	151～180	181～210	211～240	241～270
灯管数	1	11	18	20
天数	271～300	301～330	331～360	361～390
灯管数	25	16	7	2

(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命;

(2)若定期更换,可选择多长时间统一更换合适?

Answer 1

【探究】总体的平均数与标准差往往是很难求,甚至是不可求的,通常的做法就是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差.只要样本的代表性好,这种做法就是合理的.

【解析】(1)各组中值分别为165,195,225,255,285,315,345,375.

    由此可算得平均数约为

165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天).

(2)将各组中值对于此平均数求方差:

×［1×(165-268)²+11×(195-268)²+18×(225-268)²+20×(255-268)²+25×(285-

268)²+16×(315-268)²+7×(345-268)²+2×(375-268)²］=2 128.60(天²)

    故标准差为≈46(天).

    所以估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天,故可在222天到314天左右统一更换较合适.

规律总结

(1)在刻画样本数据的分散程度上,方差与标准差是一样的,但是在解决实际问题时,一般多采用标准差.

(2)平均数和标准差是工业生产中检测产品质量的重要指标,当样本的平均数或标准差超过了规定界限的时候,说明这批产品的质量可能距生产要求有较大偏离,应该进行检查,找出原因,从而及时解决问题.

(3)用样本的平均数估计总体平均数,用样本方差估计总体方差,样本容量越大,估计就越准确.