Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=4．
（1）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$；
（2）求|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|．

Answer 1

分析 （1）由条件进行数量积的运算便可得出$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）=9-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-4=4$，从而求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值；
（2）根据上面求得的$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$及条件可求出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}$的值，从而得出$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$的值．

解答 解：（1）根据条件，$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）={\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-2{\overrightarrow{b}}^{2}$=9$-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-4$=4；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1$；
（2）$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$
=9-2+2
=9；
∴$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=3$．

点评 考查向量数量积的运算，以及要求$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$而求$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}$的方法．