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    已知抛物线y2=2px(p＞0),A、B是抛物线上不重合的任意两点，F是抛物线的焦点，且,,O为坐标原点.

    （1）若=，求点M的坐标；

    （2）求动点M的轨迹方程.

    解:设A、B的坐标分别为（x1,y1）、（x2，y2），则y12=2px1,y22=2px,

    ∵=（x1-,y1）,=(x2-,y2),=0

    ∴

    由y21+y22=2p(x1+x2)和y1+y2=0,得y12+y22=p2,x1=x2=.

    ∴y1=p,y2=-p;或y1=-p,y2=p.

    ∴=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)=(p,0).

    ∴M的坐标为（p,0）.

    (2)设动点M的坐标为（x,y），则由，得

    ∵,

    ∴(x1-)y2-(x2-)y1=0,

    ∴(x1y2-x2y1)+(y1-y2)=0,

    ∴(y1-y2)=0,

    ∴(y1-y2)(y1y2+p2)=0,

    ∴y1y2+p2=0(y1≠y2).

    ∴y2=(y1+y2)2=y12+y22+2y1y2=2px-2p2.

    ∴动点M的轨迹方程为y2=2p(x-p).

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    （1）求a的取值范围；
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    （1）求抛物线上任意一点Q到定点N（2p，0）的最近距离；
    （2）过点F作一直线与抛物线相交于A，B两点，并在准线l上任取一点M，当M不在x轴上时，证明：
    kMA+kMBkMF
    是一个定值，并求出这个值．（其中kMA，kMB，kMF分别表示直线MA，MB，MF的斜率）

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    已知抛物线y2=2px（p＞0）．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p．求a的取值范围．

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    （2009•聊城一模）已知抛物线y2=2px（p＞0），过点M（2p，0）的直线与抛物线相交于A，B，
    OA
    •
    OB
    =
    0
    0
    ．

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    已知抛物线y2=2px（p＞0），M（2p，0），A、B是抛物线上的两点．求证：直线AB经过点M的充要条件是OA⊥OB，其中O是坐标原点．

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