Question

如图，在四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA＝AD＝2，AB＝1.

(1)求证：PD∥平面AMC；

(2)求三棱锥A－MBC的高．

Answer 1

[解析]　

(1)如图，连接BD，设BD与AC相交于点O，连接OM，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴点O为BD的中点．

∵M为PB的中点，

∴OM为△PBD的中位线，

∴OM∥PD，

∵OM⊂平面AMC，PD⊄平面AMC，

∴PD∥平面AMC.

(2)∵BC⊥平面PAB，AD∥BC，

∴AD⊥平面PAB，∴PA⊥AD，

又PA⊥AB，且AD∩AB＝A，

∴PA⊥平面ABCD.

取AB的中点F，连接MF，则MF∥PA，

∴MF⊥平面ABCD，且MF＝PA＝1.

设三棱锥A－MBC的高为h，

由V_A－MBC＝V_M－ABC，得S_△MBC·h＝S_△ABC·MF，

得h＝＝＝.