Question

7．已知M（1，4），N（3，2）为圆C上的两点，且直线2x-3y+6=0为圆C的一条对称轴．
（1）求过点（5，1）且与圆C相切的直线方程；
（2）若过点P（1，0）的直线l与圆C相交所得的弦的中点为A，与直线m：x+2y+2=0的交点为B，试判断|PA|•|PB|是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意：圆C的圆心在线段MN的垂直平分线上，直线2x-3y+6=0为圆C的一条对称轴．交点即为圆心．可得圆C的方程．设过点（5，1）直线方程，与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径，即得直线方程．
（2）过点P（1，0）的直线l与圆C相交，设出直线方程，联立方程组，求出A，B的坐标，求出|PA|•|PB|的关系，化简可得是否为定值．

解答 解：（1）由题意：M（1，4），N（3，2）为圆C上的两点，则斜率K_MN=$\frac{4-2}{1-3}=-1$，线段MN的中点为（2，3）则线段MN的垂直平分线的方程为x-y+1=0．
直线2x-3y+6=0与x-y+1=0的交点为（3，4），即圆心为（3，4）．半径r=$\sqrt{（3-1）^{2}+（4-4）^{2}}=2$
故得圆C的方程为（x-3）²+（y-4）²=4．
①若切线方程的斜率不存在，则直线方程x=5，恰与圆C相切，符合题意．
②若切线方程的斜率存在，设直线方程为y-1=k₁（x-5），即k₁x-y-5k₁+1=0，
由直线方程，与圆C相切，可得：$\frac{|3{k}_{1}-4-5{k}_{1}+1|}{\sqrt{{{k}_{1}}^{2}+1}}=2$，
解得：k=$-\frac{5}{12}$，
故所求的切线方程为x=5或5x+12y-37=0．
（2）过点P（1，0）的直线l与圆相交，可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为k₂x-y-k₂=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}x-y-{k}_{2}=0}\\{x+2y+2=0}\end{array}\right.$，解得B（$\frac{2{k}_{2}-2}{2{k}_{2}+1}$，-$\frac{3{k}_{2}}{2{k}_{2}+1}$），
由直线AC与直线l垂直，由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{2}x-{k}_{2}}\\{y-4=-\frac{1}{{k}_{2}}（x-3）}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{{{k}_{2}}^{2}+{4}_{2}k+3}{1+{{k}_{2}}^{2}}$，$\frac{4{{k}_{2}}^{2}+2{k}_{2}}{1+{{k}_{2}}^{2}}$），
所以|AP|•|PB|=$\sqrt{（\frac{{{k}_{2}}^{2}+4{k}_{2}+3}{1+{{k}_{2}}^{2}}-1）^{2}+（\frac{4{{k}_{2}}^{2}+2{k}_{2}}{1+{{k}_{2}}^{2}}）^{2}}$•$\sqrt{（\frac{2{k}_{2}-2}{2{k}_{2}+1}-1）^{2}+（-\frac{3{k}_{2}}{2{k}_{2}+1}）^{2}}$=$\frac{2|2{k}_{2}+1|}{1+{{k}_{2}}^{2}}•\sqrt{1+{{k}_{2}}^{2}}•\frac{3\sqrt{1+{{k}_{2}}^{2}}}{|2{k}_{2}+1|}$=6为定值．
故得|PA|•|PB|是定值6．

点评 本题考查了直线圆的位置关系的，圆的方程的求法以及化简计算的能力，综合性强．属于中档题．