Question

17．已知函数f（x）=x+alnx，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数$g（x）=f（x）+\frac{1}{2}{x^2}-bx$．
（1）求实数a的值；
（2）设x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数g（x）的两个极值点，若$b≥\frac{13}{3}$，求g（x₁）-g（x₂）的最小值．

Answer 1

分析 （1求出函数的导数，利用切线与已知直线垂直，列出方程，即可求解a的值．
（2）求出g'（x），列出求解函数的极值点的方程，利用韦达定理，化简g（x₁）-g（x₂），构造新函数，通过新函数的导数求解函数的最值．

解答 解：（1）直线x+2y=0的斜率为-$\frac{1}{2}$；
故在x=1处的切线的斜率为2；
f′（x）=1+$\frac{a}{x}$，
故f′（1）=1+a=2；
解得，a=1．
（2）$g（x）=f（x）+\frac{1}{2}{x^2}-bx$=x+lnx+$\frac{1}{2}$x²-bx，x＞0
∴g′（x）=1+$\frac{1}{x}$+x-b=$\frac{{x}^{2}-（b-1）x+1}{x}$
令g′（x）=0，得x²-（b-1）x+1=0，∴x₁+x₂=b-1，x₁x₂=1，
∴g（x₁）-g（x₂）=（x₁+lnx₁+$\frac{1}{2}$x₁²-bx₁）-（x₂+lnx₂+$\frac{1}{2}$x₂²-bx₂）=ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{2}$（x₁²-x₂²）-（b-1）（x₁-x₂）=ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），
∵0＜x₁＜x₂，设t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，（0＜t＜1）
设h（x）=lnt-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$），
则h′（x）=$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{t}^{2}}$）=-$\frac{（t-1）^{2}}{2{t}^{2}}$＜0
∴（x₁+x₂）²=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=t+$\frac{1}{t}$+2≥$\frac{100}{9}$
∵0＜t＜1，
∴9t²-82t+9≥0
解0＜$\frac{1}{9}$≤t，
∴h（t）≥h（$\frac{1}{9}$）=ln$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{9}$-9）=$\frac{40}{9}$-ln9
∴g（x₁）-g（x₂）的最小值$\frac{40}{9}$-ln9

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法韦达定理以及构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．