Question

16．已知圆C：（x-1）²+（y-1）²=1和点M（2，3）．
（1）过点M向圆C引切线l，求直线l的方程；
（2）求以点M为圆心，且被直线y=2x+4截得的弦长为4的圆M的方程．

Answer 1

分析 （1）设直线l的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，可求．（注意斜率存在和不存在讨论）
（2）利用直线截圆的弦长公式，求出半径即可．

解答 解：（1）由题意：圆C的圆心为（1，1），半径r=1，
过点M向圆C引切线l，
①若切线方程的斜率不存在，则直线方程x=2，恰与圆C相切，符合题意．
②若切线方程的斜率存在，设直线方程为y-3=k（x-2），即kx-y-2k+3=0
由直线方程，与圆C相切，可得：$\frac{|k-1-2k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$
解得：k=$\frac{3}{4}$，
故所求的直线l的方程为x=2或3x-4y-3=0．
（2）以点M为圆心，即圆心为（2，3），设半径为r．
圆被直线y=2x+4截得的弦长为4，
圆心到直线的距离d=$\frac{|2×2-3+4|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$
弦长l=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，即4=2$\sqrt{{r}^{2}-\frac{45}{25}}$，
解得：r=$\frac{\sqrt{145}}{5}$．
故得圆M的方程为：（x-2）²+（y-3）²=$\frac{29}{5}$．

点评 板梯考查了圆的方程求法和直线与圆的位置关系的判断以及运用．属于基础题．