Question

8．已知数列{a_n}是公差d不为零的等差数列，{b_n}是等比数列，函数f（x）=b₁x²+b₂x+b₃的图象在y轴上的截距为-4，其最大值为a₆-$\frac{7}{2}$．
（1）求a₆的值；
（2）若f（a₂+a₈）=f（a₃+a₁₁），求数列{b_n}的通项公式；
（3）若a₂=-$\frac{7}{2}$，设T_n为数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）根据题意f（x）图象的截距求出b₃，由二次函数的最值和条件列出方程，利用等比中项的性质化简后，列出方程求出a₆；
（2）由等差数列的性质、二次函数的性质化简条件，求出等比数列{b_n}的公比，由等比数列的通项公式求出 数列{b_n}的通项公式；
（3）由（1）和条件求出公差，由等差数列的通项公式求出a_n，代入 $\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$化简后，利用裂项相消法求出数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和．

解答 解：（1）∵函数f（x）=b₁x²+b₂x+b₃的图象在y轴上的截距为-4，
∴b₃=-4，
∵f（x）的最大值为a₆-$\frac{7}{2}$，
∴当x=$-\frac{{b}_{2}}{2{b}_{1}}$时，f（x）取得最大值是a₆-$\frac{7}{2}$，
即$\frac{4{b}_{1}{b}_{3}-{{b}_{2}}^{2}}{4{b}_{1}}$=b₃-$\frac{{{b}_{2}}^{2}}{4{b}_{1}}$=a₆-$\frac{7}{2}$，
∵{b_n}是等比数列，∴${{b}_{2}}^{2}={b}_{1}{b}_{3}$，
代入上式得，-4+1=a₆-$\frac{7}{2}$，解得a₆=$\frac{1}{2}$；
（I2）∵数列{a_n}是公差d不为零的等差数列，
∴a₂+a₈=2a₅，且a₃+a₁₁=2a₇，
则 f（a₂+a₈）=f（a₃+a₁₁）为f（2a₅）=f（2a₇），
由（1）可得，$\frac{1}{2}$（2a₅+2a₇）=$-\frac{{b}_{2}}{2{b}_{1}}$，
∴a₅+a₇=$-\frac{{b}_{2}}{2{b}_{1}}$，即$-\frac{{b}_{2}}{2{b}_{1}}$=2a₆=1，得$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=-2
则数列{b_n}的公比q=$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=-2，
∴b_n=b₃•q^n-3=-4×（-2）^n-3=-（-2）^n-1；
（3）由a₂=-$\frac{7}{2}$，a₆=$\frac{1}{2}$得，公差d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{2}}{4}$=1，
∴a_n=a₂+（n-2）d=-$\frac{7}{2}$+n-2=n-$\frac{11}{2}$=$\frac{2n-11}{2}$，
则$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{（2n-11）（2n-9）}$=2（$\frac{1}{2n-11}-\frac{1}{2n-9}$），
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和：
T_n=2[（$\frac{1}{-9}-\frac{1}{-7}$）+（$\frac{1}{-7}-\frac{1}{-5}$）+…+（$\frac{1}{2n-11}-\frac{1}{2n-9}$）]
=2（-$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{2n-9}$ ）=$\frac{-4n}{9（2n-9）}$．

点评 本题考查了等差数列的性质、通项公式，等比数列的通项公式，二次函数的图象与性质，以及裂项相消法求数列的前n项和，考查方程思想，化简、变形能力．