Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_2n=2a_n²+a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=2^a_n，求b₁+b₃+b₅+…+b_2n+1．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、猜想此数列为等差数列，验证成立即可．
（2）利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）${S_{2n}}=2{a_n}^2+{a_n}$，则${S_2}={a_1}+{a_2}=2a_1^2+{a_1}$，又a₁=1，得a₂=2，
猜想数列{a_n}为等差数列，公差d=a₂-a₁=1，可得数列{a_n}的通项公式为a_n=n．
验证：左边=S_2n=$\frac{2n（1+2n）}{2}$=2n²+n=右边．
∴猜想a_n=n正确．
（2）${b_n}={2^{a_n}}={2^n}$，
∴数列{b_2n+1}是首项为2，公比为4的等比数列，
∴${b_1}+{b_3}+{b_5}+…+{b_{2n+1}}=\frac{2}{3}（{{4^{n+1}}-1}）$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．