Question

（2010•眉山一模）直线y=x是曲线y=x³-3x²+ax的切线，则a的值为（　　）

• A．1
• B．

  13

  4

• C．1或

  13

  4

• D．4

Answer 1

分析：由直线与曲线相切，根据直线已知，即可得出切线斜率，即得出曲线的导数的方程，再设出切点坐标，利用切点在曲线上，又得到一个方程，两个方程联立求解即可．

解答：解：设切点P（x₀，x₀）
∵直线y=x是曲线y=x³-3x²+ax的切线
∴切线的斜率为1
∵y=x³-3x²+ax
∴y′︳x=x0=3x²-6x+a ︳x=x0=3x₀²-6x₀+a
根据切线的几何意义得：
3x₀²-6x₀+a=1①
∵点P在曲线上
∴x₀³-3x₀²+ax₀=x₀②
由①，②联立得

x0=0 3 x 0 2 -6x0+a-1=0

③或

x 2 0 -3x0+a-1=0 3 x 2 0 -6x0+a-1=0

④
由③得，a=1
由④得x₀²-3x₀=3x₀²-6x₀解得x₀=0或

3

2

，把x₀的值代入④中，得到a=1或

13

4

，
综上所述，a的值为1或

13

4

．
故选C．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线的斜率，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道中档题．