Question

已知函数f(x)=x+

c

x

的定义域为（0，+∞），若对任意x∈N^*，都有f（x）≥f（3），则实数c的取值范围是

[6，12]

．

Answer 1

分析：可用导数判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，由题意可得f（2）≥f（3）且f（4）≥f（3），由此得c的不等式组，解出即可．

解答：解：f′（x）=1-

c

x2

，
当c≤0时f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增，不合题意；
当c＞0时，f′（x）=

(x+ c )(x- c )

x

，
由f′（x）＜0得0＜x＜

c

，由f′（x）＞0得x＞

c

，
所以f（x）在（0，

c

）上递减，在（

c

，+∞）上递增，
又对任意x∈N^*，都有f（x）≥f（3），
所以

f(2)≥f(3) f(4)≥f(3)

，即

2+ c 2 ≥3+ c 3 4+ c 4 ≥3+ c 3

，解得6≤c≤12，
故答案为：[6，12]．

点评：本题考查导数求函数的最值，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．