Question

【题目】已知椭圆C:的焦距为，且C过点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设、分别是椭圆C的下顶点和上顶点，P是椭圆上异于、的任意一点，过点P作轴于M，N为线段PM的中点，直线与直线交于点D，E为线段的中点，O为坐标原点，则是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（Ⅰ）由焦距为，得，由椭圆过点，得，再由a2＝b2+c2，解得a＝2，b＝1，由此能求出椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P（x0，y0），x0≠0，则M（0，y0），，由此能求出直线B2N的方程，令y＝﹣1，得，由B2（0，﹣1），E为线段B1D的中点，得，从而，，由此能证明．

(1)由题意各焦距为，∴，又∵椭圆过点，

∴代入椭圆方程得，∵，解得，，

故所求椭圆C的方程是；

(2)证明：设，，则，，

∵点P在椭圆C上，，即，

又，∴直线的方程为，

令，得，∴，

又，E为线段的中点，∴，

∴，，

因

.

∴，即.