Question

6．已知对任意正数a，b，c，$\frac{a+b+c}{3}$≥$\root{3}{abc}$恒成立，当且仅当a=b=c时取“=”，据此，函数y=x²（1-x），x∈[0，1]的最大值是$\frac{4}{27}$．

Answer 1

分析 由题意，$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$x+（1-x）≥$3\root{3}{\frac{1}{4}{x}^{2}（1-x）}$，即可求出函数y=x²（1-x），x∈[0，1]的最大值．

解答 解：由题意，$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$x+（1-x）≥$3\root{3}{\frac{1}{4}{x}^{2}（1-x）}$，
∴y=x²（1-x）≤$\frac{4}{27}$，当且仅当$\frac{1}{2}$x=1-x，即x=$\frac{2}{3}$时，函数y=x²（1-x），x∈[0，1]的最大值是$\frac{4}{27}$，
故答案为：$\frac{4}{27}$．

点评 本题考查求函数y=x²（1-x），x∈[0，1]的最大值，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．