Question

设f（x）=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率；
（2）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，f（x）=

2

x

+xlnx，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率；
（2）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，利用导数求出函数g（x）的最大值和最小值，然后求出g（x）_max-g（x）_min，从而求出满足条件的最大整数M．

解答：解：（1）当a=2时，f（x）=

2

x

+xlnx，f′(x)=-

2

x2

+lnx+1，
∴f（1）=2，f′（1）=-1．
∴y=f（x）在x=1处的切线斜率为-1；
（2）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立
g（x）=x³-x²-3，g′（x）=3x²-2x=3x（x-

2

3

）
当x∈（0，

2

3

）时，g′（x）＜0，当x∈（

2

3

，2）时，g′（x）＞0，
∴g（x）_min=g（

2

3

）=-

85

27

，g（x）_max=g（2）=1
g（x）_max-g（x）_min=

112

27

∴满足条件的最大整数M=4

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题和利用导数求闭区间上函数的最值，同时考查了转化与化归的思想，属于中档题．