Question

已知圆的圆心为M，圆（x-2）²+y²=的圆心为N，一动圆与这两圆都外切．
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）若过点N的直线l与（1）中所求轨迹有两交点A、B，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用两个圆相外切的充要条件列出两个几何条件，令两个式子相减；再利用双曲线的定义判断出动圆圆心P的轨迹是双曲线，写出双曲线的方程．
（2）分直线的斜率存在于不存在，设出直线的方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理列出关于k的不等式，求出k的范围，利用向量的数量积公式将用k表示，求出k的范围．
解答：解：（1）设动圆P的半径为r，
则|PM|=，
相减得|PM|-|PN|=2
由双曲线定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右支，
其双曲线方程为
（2）当直线l的斜率存在时，设为k，则

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，，=4+2（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁-2）（x₂-2）=
当直线的斜率不存在时，x₁=x₂=2⇒y₁=3，y₂=-3
所以，，
综合得
点评：求动点的轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、相关点法、消参法、交轨法等；解决直线与圆相交的问题常利用几何法特别时，将直线与圆的方程联立，利用韦达定理解．