Question

已知数列{ }、{ }满足：.

（1）求

（2）证明：数列{}为等差数列，并求数列和{ }的通项公式；

（3）设，求实数为何值时 恒成立.

 

Answer 1

（1）；（2）证明见解析，，；（3）≤1.

【解析】

试题分析：（1）递推依次求得；（2）可得，化简可证为等差数列，求出通项公式，进而求出和{ }的通项公式；（3）裂项法可求，则代入 ，将原不等式恒成立转化为，利用一元二次函数知识可得≤1.

解：（1） ∵， ∴； 4分

（2）∵，

∴，，

∴ ， ∴ 数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列， 6分

∴， ， ∴ ； 8分

（3） ， ∴，

∴， 10分

由条件可知恒成立即可满足条件，

设，

当＝1时，恒成立,

当 >1时，由二次函数的性质知不可能成立,

当<l时，对称轴 , 13分

f(n)在为单调递减函数, ,

∴ ∴<1时恒成立,

综上知：≤1时，恒成立. 14分

考点：等差数列的定义，裂项法求和，不等式恒成立.