Question

若f（x）在R上可导，
（1）求f（-x）在x=a处的导数与f（x）在x=-a处的导数的关系；
（2）证明：若f（x）为偶函数，则f′（x）为奇函数．

Answer 1

分析：（1）利用导数的定义，求出f（-x）在x=a处的导数与f（x）在x=-a处的导数，比较即可；
（2）利用导数的定义，求出f′（x），然后判断其奇偶性．

解答：（1）解：设f（-x）=g（x），则
g′（a）=

lim

△x→0

g(a+△x)-g(a)

△x

=

lim

△x→0

f(-a-△x)-f(-a)

△x

=-

lim

-△x→0

f(-a-△x)-f(-a)

-△x

=-f′（-a）．
∴f（-x）在x=a处的导数与f（x）在x=-a处的导数互为相反数．
（2）证明：f′（-x）=

lim

△x→0

f(-x+△x)-f(-x)

△x

=

lim

△x→0

f(x-△x)-f(x)

-△x

=-

lim

△x→0

f(x-△x)-f(x)

-△x

=-f′（x）．
∴f′（x）为奇函数．

点评：用导数的定义求导数时，要注意△y中自变量的变化量应与△x一致．