Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动，则当圆滚动到圆心位于C（28，1）时，线段0P所在直线的方程为

y=

1-cos28

28-sin28

x

；往四边形OAFE内任投一粒石子，则石子落在四边形内以（2n，1）（n∈Z）为圆心的所有单位圆外的概率为

4-π

4

．

Answer 1

分析：因为圆心运动的距离为28，圆的周长为2π，故考虑单位圆运动的圈数才能确定劣弧PA的长度，采用几何法或参数方程法解答均可，从而确定P的坐标，即可得出线段OP所在直线的方程．石子落在四边形内以（2n，1）（n∈Z）为圆心的所有单位圆外的概率属于几何概型问题，准确进行图形面积的计算即可得到答案．

解答：解：连PC，圆心运动的距离为28，圆的周长为2π，设单位圆运动的圈数为n，

PA

=l，
则n•2π+l=28，∴n=4，l=28-8π＜π，故点P在单位圆的左半圆上，
即圆心角∠PCA=

28-8π

1

=28-8π，则∠PCA=28-8π-

π

2

=28-

17

2

π，
∴PB=1•sin（28-

17

2

π）=-cos28，
CB=cos（28-

17

2

π）=sin28．
∴x_P=28-CB=28-sin28，y_P=1+PB=1-cos28．
∴P（28-sin28，1-cos28），
∴k_OP=

1-cos28

28-sin28

，
∴线段0P所在直线的方程为y=

1-cos28

28-sin28

x；
∵圆心每移动2个单位长度后，前后两圆的位置关系是相切，由圆心的位置为（28，1）可知，
四边形OAFE内以（2n，1）为圆心的所有单位圆中，相邻的单位圆均相切，
又向四边形OAFE内任投一粒石子的概率满足于几何概型，
则所求概率P=

28 2 (2×2-π×12)

28×2

=

4-π

4

．
故答案为：y=

1-cos28

28-sin28

x；

4-π

4

．

点评：本题考查了几何概型，以及直线与圆的方程及位置关系，考查了学生的计算能力，属于中档题．