Question

如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。　　　　　　 　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（Ⅰ）求证：AC⊥SD；

（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 　　

使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；

若不存在，试说明理由。

Answer 1

解法一：

     （Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，，所以,得.

      (Ⅱ)设正方形边长，则。

又，所以,

      连，由（Ⅰ）知,所以, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m   

且,所以是二面角的平面角。

由,知,所以,

即二面角的大小为。

  （Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使

由（Ⅱ）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.

解法二：

     （Ⅰ）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。

   设底面边长为，则高。

   于是    

             w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

           

           

         w.w.w.k.s.5.u.c.o.m   

故    

从而  

      (Ⅱ)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为

     （Ⅲ）在棱上存在一点使.

      由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，

    且  

设      w.w.w.k.s.5.u.c.o.m   

则     

而      

即当时， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

而不在平面内，故