Question

（2010•马鞍山模拟）下面命题中正确的是

①②④

（写出所有正确  命题的编号）．①?x∈R，e^x≥ex；②若f（x）=x⁵+x⁴+x³+2x+1，则f（2）的值用二进制表示为111101；③若a＞0，b＞0，m＞0，则

b

a

≤

b+m

a+m

；④函数y=xlnx与y=

lnx

x

在点（1，0）处的切线相同．

Answer 1

分析：对于①用导数求函数的单调区间，先求函数的导数，再令其大于0，利用单调性即可证得．
对于②根据二进制表示为111101的表示主式即可进行判断；
对于③根据不等式的基本性质，比较大小的方法是做差，只需将比较的两个分式做差与零比较大小即可．

b+m

a+m

-

b

a

=

m(a+b)

a(a+m)

与零比较即可求出．
对于④利用求导法则，以及（lnx）′=

1

x

，求出函数解析式的导函数，然后把切点的横坐标x=1代入导函数中，求出的导函数值即为所求切线即得．

解答：解：对于①：设f（x）=e^x-ex，f′（x）=e^x-e，
令f′（x）＞0得x＞1，
∴函数f（x）的单调递增区间为[1，+∞），单调递减区间为（-∞，1]，∴f（x）＞f（1），即?x∈R，e^x≥ex
故①正确．
②二进制111101即：2⁵+2⁴+2³+2*2+1=f（2）
故正确；
③：∵

b+m

a+m

-

b

a

=

ab+an-ab-bm

a(a+m)

=

m(a+b)

a(a+m)

∵a＞b＞0，m＞0，∴a-b＞0，a+m＞0
∴

m(a+b)

a(a+m)

＞0
∴

a+m

b+m

＞

a

b

故③正确；
④：函数y=xlnx求导得：y′=lnx+1，
把x=1代入导函数得：y′_|x=1=ln1+1=1，
则所求相切得斜率为1．
 y′=

(lnx)′x-lnx•x′

x2

=

1-lnx

x2

，
 y'（1）=1
又当x=1时y=0
∴切线方程为y=x-1
切线相同，故④正确．
故答案为：①②④

点评：此题只要知道不等式的基本性质，学生要用做差进行因式分解与0进行比较即可．此题考查了利用导数求曲线方程上某点切线方程的斜率，求导法则运用，以及简单复合函数的导数的求法，熟练掌握求导法则是解本题的关键．