Question

【题目】如图，在三棱柱中，侧面与侧面都是菱形， ， ．

（1）求证： ；

（2）若， 的中点为，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】试题分析：证明线线垂可寻求证明线面垂直，取取中点，连接， ，利用条件证明平面.以为坐标原点，分别以， ， 为正方向建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出平面和平面 的法向量，利用向量夹角公式求出二面角的余弦值.

试题解析：

（1）证明：连接， ，则和皆为正三角形．

取中点，连接， ，则， ，从而平面， ．

（2）解：由（1）知， ，又满足所以， 平面．

如图所示，分别以， ， 为正方向建立空间直角坐标系，

则， ， ， ， ， ，

设平面的法向量为，因为， ，

所以取．

设平面的法向量为，因为， ，

同理可取．

则，因为二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为．