Question

18．己知角α的终边经过点（-1，$\sqrt{3}$），则对函数f（x）=sinαcos2x+cosαcos（2x-$\frac{π}{2}$）的表述正确的是（　　）

• A． 对称中心为（$\frac{11}{12}$π，0）
• B． 函数y=sin2x向左平移$\frac{π}{3}$个单位可得到f（x）
• C． f（x）在区间（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$）上递增
• D． y=f（x）在[-$\frac{5}{6}π$，0]上有三个零点

Answer 1

分析 由条件利用任意角的三角函数的定义可得α=$\frac{π}{6}$，再利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再根据余弦函数的图象和性质得出结论．

解答 解：角α的终边经过点（-1，$\sqrt{3}$），则sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosα=$\frac{-1}{2}$，可得α=$\frac{π}{6}$，
对函数f（x）=sinαcos2x+cosαcos（2x-$\frac{π}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$sin2x=cos（2x+$\frac{π}{6}$），
故当x=$\frac{11π}{12}$ 时，f（x）=1，故函数的图象关于直线x=$\frac{11π}{12}$对称，故排除A．
函数y=sin2x向左平移$\frac{π}{3}$个单位可得到函数y=sin2（x+$\frac{π}{3}$）=sin（2x+$\frac{2π}{3}$）=cos（2x+$\frac{π}{6}$）的图象，故B正确．
在区间（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$）上，2x+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上，函数y=cos（2x+$\frac{π}{6}$）不具有单调性，故排除C．
在[-$\frac{5}{6}π$，0]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{3π}{2}$，$\frac{π}{6}$]上，故只有当2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{3π}{2}$，或2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$时，f（x）=0，
故函数f（x）在[-$\frac{5}{6}π$，0]上有2个零点，故排除D．
故选：B．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，余弦函数的图象和性质，属于中档题．