Question

16．（1）已知z₁，z₂是两个虚数，并且z₁+z₂与z₁z₂均为实数，求证：z₁，z₂是共轭复数
（2）求证：无论θ为何值，方程x²-（tanθ+i）x-（i+2）=0都不可能有纯虚数根．

Answer 1

分析 （1）设z₁=a+bi，z₂=c+di（a，b，c，d∈R），且b，d≠0，则z₁+z₂=（a+c）+（b+d）i为实数，可得b+d=0．由z₁z₂=（ac-bd）+（ad+bc）i为实数，可得bc+ad=0，
把d=-b代入上式可得c=a．即可证明．
（2）假设此方程有纯虚数根bi（b∈R且b≠0），代入可得：（bi）²-（tanθ+i）bi-（i+2）=0，化为（b²-b+2）+（btanθ+1）i=0，由b²-b+2=0无实数根，可得设不成立，因此原命题成立．

解答 证明：（1）设z₁=a+bi，z₂=c+di（a，b，c，d∈R），且b，d≠0，
则z₁+z₂=（a+c）+（b+d）i为实数，可得b+d=0．
由z₁z₂=（ac-bd）+（ad+bc）i为实数，可得bc+ad=0，
把d=-b代入上式可得：b（c-a）=0，
∵b≠0，∴c=a．∴z₁，z₂是共轭复数．
（2）假设此方程有纯虚数根bi（b∈R且b≠0），代入可得：（bi）²-（tanθ+i）bi-（i+2）=0，化为（b²-b+2）+（btanθ+1）i=0，
∵b²-b+2=$（b-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{7}{4}$＞0，因此b²-b+2=0无实数根，这与假设矛盾，
∴假设不成立，
因此原命题成立．

点评 本题考查了复数的有关知识、反证法等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．