求证:x＞1时.2x3＞x2+1．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

求证：x＞1时，2x³＞x²+1．

证明：令f（x）=2x³-x²-1，则f′（x）=6x²-2x=2x（3x-1）．
当x＞1时，f′（x）＞0恒成立．
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增．
又∵f（1）=0，
∴f（x）在（1，+∞）上恒大于零，即当x＞1时，2x³＞x²+1．

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相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

x²-2x．
（1）设h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求h（x）的最大值；
（2）证明：当0＜b＜a时，求证：f（a+b）-f（2a）＜

b-a

；
（3）设k∈Z，当x＞1时，不等式k（x-1）＜xf（x）+3g′（x）+4恒成立，求k的最大值．

科目：高中数学 来源： 题型：

已知函数f（x）满足定义域在（0，+∞）上的函数，对于任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），当且仅当x＞1时，f（x）＜0成立，
（1）设x，y∈（0，+∞），求证f(

)=f(y)-f(x)；
（2）设x₁，x₂∈（0，+∞），若f（x₁）＜f（x₂），试比较x₁与x₂的大小；
（3）解关于x的不等式f（x²-2x+1）＞0．

科目：高中数学 来源： 题型：

已知定义在R⁺上的函数f（x）满足下列条件：①对定义域内任意x，y，恒有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时f（x）＜0；③f（2）=-1
（1）求f（8）的值；
（2）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（3）解不等式：f（2^x+2）-f（2^x-4）＜-3．

科目：高中数学 来源： 题型：

已知函数f（x）=2x+

的定义域为（0，1]（a为实数）．
（1）求证：当a=1时，函数y=f（x）在区间[

，1]上单调递增；
（2）当a＞0时，函数y=f（x）在x∈（0，1]上是否有最大值和最小值，如果有，求出函数的最值以及相应的x的值．

科目：高中数学 来源： 题型：

已知函数f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），对定义域内的任意m，n都有f（m•n）=f（m）+f（n），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=2，
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式f（2x-1）＜4．

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