Question

已知函数f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），对定义域内的任意m，n都有f（m•n）=f（m）+f（n），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=2，
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式f（2x-1）＜4．

Answer 1

分析：（1）令m=n=1可求得f（1），令m=n=-1可求f（-1），在f（m•n）=f（m）+f（n）中，令n=-1，可得结论；
（2）设0＜x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）=f（x₁•

x2

x1

）-f（x₁），
依据f（m•n）=f（m）+f（n）及x＞1时f（x）＞0，可得f（x₂）-f（x₁）的符号，从而得证；
（3）由（1），（2）及已知f（2）=2，f（2x-1）＜4?f（|2x-1|）＜f（4）?0＜|2x-1|＜4，从而可解．

解答：（1）证明：因为对定义域内的任意m，n都有f（m•n）=f（m）+f（n），
所以，令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=0；
令m=n=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1），即0=2f（-1），所以f（-1）=0．
对定义域内的任意m，取n=-1，有f（-m）=f（m）+f（-1），即f（-m）=f（m），
所以f（x）是偶函数．
（2）证明：设0＜x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₁•

x2

x1

）-f（x₁）=f（x₁）+f（

x2

x1

）-f（x₁）=f（

x2

x1

），
因为当x＞1时f（x）＞0，且

x2

x1

＞1，所以f（

x2

x1

）＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₂）＞f（x₁）．
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解：由f（2）=2，得4=f（2）+f（2）=f（2•2）=f（4），
由（1），（2）得，f（2x-1）＜4?f（|2x-1|）＜f（4）?0＜|2x-1|＜4，
解得-

3

2

＜x＜

5

2

，且x≠

1

2

．
所以不等式的解集为：{x|-

3

2

＜x＜

5

2

，且x≠

1

2

}．

点评：本题考查抽象函数的奇偶性、单调性及其应用，定义是解决该类题目的基本方法．