Question

【题目】已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）=4，且f（x）导函数f′（x）＜3，则不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（ ）
A.（1，+∞）
B.（e，+∞）
C.（0，1）
D.（0，e）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：设t=lnx，
则不等式f（lnx）＞3lnx+1等价为f（t）＞3t+1，
设g（x）=f（x）﹣3x﹣1，
则g′（x）=f′（x）﹣3，
∵f（x）的导函数f′（x）＜3，
∴g′（x）=f′（x）﹣3＜0，此时函数单调递减，
∵f（1）=4，
∴g（1）=f（1）﹣3﹣1=0，
则当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，
即g（x）＜0，则此时g（x）=f（x）﹣3x﹣1＜0，
即不等式f（x）＞3x+1的解为x＜1，
即f（t）＞3t+1的解为t＜1，
由lnx＜1，解得0＜x＜e，
即不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（0，e），
故选：D．
【考点精析】解答此题的关键在于理解基本求导法则的相关知识，掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．