Question

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(x∈R，a≠0)，
(Ⅰ)讨论函数f(x)的奇偶性；
(Ⅱ)若a＜0，c=-2，方程f(x)=x的两实根x₁，x₂满足：x₁∈(0，1)，x₂∈(1，2)，求证：-4＜＜-1。

Answer 1

(Ⅰ)解：∵f(x)=ax²+bx+c(x∈R，a≠0)，
当b=0时，f(x)=ax²+c(x∈R，a≠0)，满足f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数；
当b≠0时，f(x)=ax²+bx+c(x∈R，a≠0)，不满足f(-x)=f(x)，也不满足f(-x)=-f(x)，
所以f(x)是非奇非偶函数．
(Ⅱ)证明：由方程f(x)=x，得ax²+(b-1)x-2=0，
又两实根x₁，x₂满足x₁＜1＜x₂＜2，
则a+b-1-2＞0，即：a+b-3＞0， ①
4a+2(b-1)-2＜0，即：2a+b-2＜0，②
由①×2+②×(-3)可得出-4a-b＞0，
∵a＜0，
∴，
又由①可得出，故。