Question

19．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，且f（1）=0，则不等式f（log₄x）+f（log$\frac{1}{4}$x）≥0的解集为[$\frac{1}{4}$，4]．

Answer 1

分析 根据对数的运算性质进行化简，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．

解答 解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，且f（1）=0，
∴不等式f（log₄x）+f（log$\frac{1}{4}$x）≥0等价为不等式f（log₄x）+f（-log₄x）≥0
即2f（log₄x）≥0，则f（|log₄x|）≥f（1），
即|log₄x|≤1，即-1≤log₄x≤1，
则-$\frac{1}{4}$≤x≤4，
即不等式的解集为[$\frac{1}{4}$，4]，
故答案为：[$\frac{1}{4}$，4]．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的关键．