Question

4．已知函数f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）．
（1）若f（3a+4）≥f（5a），求实数a的取值范围；
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，设g（x）=f（x）-3^x+4，判断g（x）在（1，2）上零点的个数并证明：对任意λ＞0，都存在μ＞0，使得g（x）＜0在x∈（λμ，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析 （1）根据当0＜a＜1和a＞1两种情况，利用对数函数的单调性能求出实数a的取值范围．
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，g（x）=f（x）-3^x+4=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x-{3}^{x}+4$，函数g（x）在（1，2）单调递减，由此能求出结果．

解答 解：（1）∵f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），f（3a+4）≥f（5a），
∴当0＜a＜1时，$\left\{\begin{array}{l}{3a+4≤5a}\\{3a+4＞0}\\{5a＞0}\end{array}\right.$，无解；
当a＞1时，$\left\{\begin{array}{l}{3a+4≥5a}\\{3a+4＞0}\\{5a＞0}\end{array}\right.$，解得1＜a≤2．
∴实数a的取值范围是（1，2]．
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，g（x）=f（x）-3^x+4=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x-{3}^{x}+4$，
函数g（x）在（1，2）单调递减，
g（1）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}1-3+4=1＞0$，
g（2）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}2-{3}^{2}+4$=-6＜0，
∴g（x）=f（x）-3^x+4，在（1，2）上只有1个零点．
∵g（x）＜0对（2，+∞）恒成立，
∴对任意λ＞0，都存在μ=$\frac{2}{λ}$＞0，使得g（x）＜0在x∈（λμ，+∞）上恒成立．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，考查函数的零点个数的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用．