Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB为等边三角形．
（Ⅰ）求PC与平面ABCD所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角B-AC-P的大小；
（Ⅲ）求点A到平面PCD的距离．

Answer 1

分析：（1）设O为AB中点，易证PO⊥平面ABCD，从而∠PCO为直线PC与平面ABCD所成的角，在三角形PCO中求出此角即可；
（2）过O做OE⊥AC，垂足为E，连接PE，易证∠PEO为二面角B-AC-P的平面角，在三角形POE中求出此角即可；
（3）点A到平面PCD的距离等于点O到平面PCD的距离，取CD中点M，连接OM、PM，过O做ON⊥PM，垂足为N，ON就是点A到平面PCD的距离，在△POM中求出ON．

解答：解：（Ⅰ）解：设O为AB中点，连接PO，CO，
∵PA=PB，
∴PO⊥AB．
又平面PAB⊥平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD．
∴∠PCO为直线PC与平面ABCD所成的角．
由底面正方形边长为2，△PAB为等边三角形，
则PO=

3

，CO=

5

，
∴tanPCO=

PO

CO

=

15

5

．
∴直线PC与平面ABCD所成的角大小为arctan

15

5

．（5分）

（Ⅱ）解：过O做OE⊥AC，垂足为E，连接PE．
∵PO⊥平面ABCD，
∴PE⊥AC．
∴∠PEO为二面角B-AC-P的平面角．
可求得OE=

2

2

．
又PO=

3

，
∴tanPEO=

PO

OE

=

6

．
∴二面角B-AC-P的大小为arctan

6

．（10分）

（Ⅲ）解：∵AB∥平面PCD，
∴点A到平面PCD的距离等于点O到平面PCD的距离．
取CD中点M，连接OM，PM，
∵PO⊥CD，OM⊥CD，
∴CD⊥平面POM．
∴平面POM⊥平面PCD．
过O做ON⊥PM，垂足为N，
则ON⊥平面PCD．
在△POM中，PO=

3

，OM=2，
可得PM=

7

，
∴ON=

2 3

7

=

2 21

7

．
∴点A到平面PCD的距离为

2 21

7

．（14分）

点评：本题主要考查了直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．