Question

（本题满分12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥底面,，点是棱的中点.                                                   
（Ⅰ）求点到平面的距离；
(Ⅱ) 若，求二面角的平面角的余弦值 .

Answer 1

（Ⅰ）；(Ⅱ)

(I)可以利用体积法求解，根据．也可利用向量法．
(II)可以考虑向量法，建系后，求出二面角两个面的法向量，然后求出法向量的夹角，再根据法向量的夹角与二面角相等或互补求解．
解：(Ⅰ)以为坐标原点，射线 分别为轴、轴、轴正半轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，  .因此），，.
则，所以⊥平面.又由∥知∥平面，故点到平面的距离为点到平面的距离，即为…（6分）
（Ⅱ)因为，则.设平面的法向量，则由可解得：，同理可解得
平面的法向量，故
所以二面角的平面角的余弦值为.               ……（12分）
注：此题也可用传统法解答，可类似给分.