【题目】如图,矩形和菱形
所在的平面相互垂直,
,
为
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】
(1)由面面垂直性质定理可得平面
,即
,根据菱形的性质可得
,结合线面垂直判定定理即可的结果;(2)以
为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系,分别求出平面
以及平面
的法向量,求出法向量的夹角即可得二面角
的余弦值.
(1)证明:∵矩形和菱形
所在的平面相互垂直,
∴,
∵矩形菱形
,∴
平面
,
∵平面
,∴
,
∵菱形中,
,
为
的中点.
∴,即
∵,∴
平面
.
(2)由(1)可知两两垂直,以A为原点,AG为x轴,AF为y轴,AD为z轴,
建立空间直角坐标系,设,
则,故
,
,
,
,
则,
,
,
设平面的法向量
,
则,取
,得
,
设平面的法向量
,
则,取
,得
,
设二面角的平面角为
,则
,
易知为钝角,∴二面角
的余弦值为
.
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【题目】若数列{an}是公差为2的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=2,且anbn+bn=nbn+1.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}满足,数列{cn}的前n项和为Tn,若不等式(-1)nλ<Tn+
对一切n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某快餐连锁店招聘外卖骑手,该快餐连锁店提供了两种日工资方案:方案①:规定每日底薪50元,快递业务每完成一单提成3元;方案②:规定每日底薪100元,快递业务的前44单没有提成,从第45单开始,每完成一单提成5元.该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量.现随机抽取100天的数据,将样本数据分为,
,
,
,
,
,
七组,整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)随机选取一天,估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率;
(2)若骑手甲、乙选择了日工资方案①,丙、丁选择了日工资方案②.现从上述4名骑手中随机选取2人,求至少有1名骑手选择方案①的概率;
(3)若从人均日收入的角度考虑,请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择,并说明理由.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)
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【题目】从某校高中男生中随机选取100名学生,将他们的体重(单位: )数据绘制成频率分布直方图,如图所示.
(1)估计该校的100名同学的平均体重(同一组数据以该组区间的中点值作代表);
(2)若要从体重在,
内的两组男生中,用分层抽样的方法选取5人,再从这5人中随机抽取3人,记体重在
内的人数为
,求其分布列和数学期望
.
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【题目】甲、乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图所示.
(1)分别求出两人得分的平均数与方差;
(2)根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.
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【题目】如图,椭圆:
的左、右焦点分别为
,椭圆
上一点
与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为
,
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点的直线
交椭圆
于
两点,问在
轴上是否存在定点
,使得
为定值?证明你的结论.
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【题目】已知直线l、m,平面α、β,下列命题正确的是 ( )
A. l∥β,lαα∥β
B. l∥β,m∥β,lα,mαα∥β
C. l∥m,lα,mβα∥β
D. l∥β,m∥β,lα,mα,l∩m=Mα∥β
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