Question

已知圆C：x²-2ax+y²-4y+a²=0（a＞0）及直线l：x-y+3=0，当直线l被圆C截得的弦长为2

2

时．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．

Answer 1

（I）∵圆C方程为x²-2ax+y²-4y+a²=0，
∴化成标准方程得（x-a）²+（y-2）²=4，
可得圆心为C（a，2），半径r=2．
由此可得C到直线l：x-y+3=0的距离为d=

|a-2+3|

2

=

2

2

|a+1|，
∵直线l被圆C截得的弦长为2

2

，
∴根据垂径定理，可得

r2-d2

=

2

，
即

4- 1 2 (a+1)2

=

2

，
解得a=1或-3，
结合a＞0，可得a=1（负值舍去）；
（II）由（I）可得圆C的方程为（x-1）²+（y-2）²=4，
设过点（3，5）并与圆C相切的直线为m：y-5=k（x-3），
即kx-y-3k+5=0，
∵直线m与圆C相切，
∴点C到直线m的距离等于半径，
即

|k-2-3k+5|

k2+1

=2，解之得k=

5

12

，
可得直线m方程为y-5=

5

12

（x-3），
化简得5x-12y+45=0．
又∵当经过点（3，5）的直线斜率不存在时，方程为x=3，也与圆C相切，
∴所求切线方程为x=3和5x-12y+45=0．